Matematiksel İspat/Küme Teorisine Giriş

Kümlere matematikte sık sık kullanılır ve küme teorisi kümeleri inceler. Küme teorisi biçimsel olarak açıklanabileceği gibi Zermelo-Fraenkel küme teorisi ve benzeri aksiyomatik küme teorileri de vardır. Bu kitap biçimsel açıklamaya girmeyecektir.

Küme teorisini biçimsel olarak tartışmayacak olsak da kümeler ile ilgili bazı temel konuları anlamamız elzemdir. Bu bölüm bununla ilgilenecek.

Küme nedir?

Küme, birbirinden farklı özel nesnelerin (nesnelerin kendileri de küme olabilir) koleksiyonudur. "Özel" teriminin belirsizliği nedeniyle bu açıklama kümelerin tanımı değildir. Kümeleri ilkel kavram (daha önceden belirtilen kavramlarla belirtilmeyen kavram) olarak tanımlayabiliriz.

Kümede bulunan birbirinden farklı nesnelere eleman (element) denir. Matematiksel olarak eleman $a$'nın küme $A$'da bulunduğunu $a\in A$ ifadesiyle belirtiyoruz.

Örnek.

• Tüm çoğul numaraların kümesi olarak $E$'yi düşünelim. $E$ kümesi (bunlarla sınırlı kalmamakla birlikte) -2, 0 ve 4 elemanlarını içeriyor yani $-2,0,4\in E$.
• Türk alfabesinin (bir küme) elemanları Türk harfleridir.

Küme tanımlama yolları

Bir kümeyi net bir şekilde (elemanların o kümeye ait olduğunun net olarak bilindiği şekilde) tanımlamanın birkaç yolu vardır.

Eğer bir küme az sayıda elemandan oluşuyorsa o halde listeleme yöntemi verimli çalışabilir. Listeleme yönteminde kümenin elemanları süslü parantez içinde ({}) gösterilir. Bir kümede bulunan elemanların sırasını değiştirmek kümenin kendisini değiştirmez. Örneğin $\{1,2\}$ ile $\{2,1\}$ kümeleri yalnızca 1 ve 2 elemanlarını içerdikleri için aynı kümeyi temsil etmektedirler. Eğer parantezler içinde temsil edilen elemanlar aynı ise elemanların sıralanışları fark etmeksizin iki gösterim de aynı kümeyi belirtmektedir. Ayrıca aynı elemanı küme içinde birden fazla kez belirtmek o kümeyi değiştirmez. Örneğin, $\{1,1,2,2,2\}$ ile $\{1,2\}$ eleman sayıları fark etmeksizin yalnızca 1 ile 2 elemanlarını içerdikleri için aynı kümeyi belirtmektedirler. Eğer bir küme hiçbir eleman içermiyorsa o kümeye boş küme denir ve $\{\}$ veya $\varnothing$ şeklinde belirtilebilir.

Kümeleri tanımlamanın başka bir yolu da kelimelerdir. Örneğin 10'dan küçük tüm asal sayıları içeren $S$ kümesini düşünün. Bu kümeyi harf yerine listeleme yöntemiyle belirtseydik $\{2,3,5,7\}$ olarak belirtirdik.

Küme tanımlamanın bir diğer üçüncü yolu ise küme inşaa kavramıdır. Bu yöntem çok fazla eleman içeren kümelerde etkilidir. Bu küme tanımlama yöntemini oluşturan üç parça aşağıda belirtilmiştir:

$$\underbrace {\{} _{\text{The set of}}\underbrace {x} _{{\text{all elements }}x}\underbrace {:} _{\text{such that}}\underbrace {P(x)} _{{\text{the property }}P(x){\text{ is satisfied}}}\}$$

Tahmin edilebileceği üzere iki küme ancak ve ancak aynı elemanlara sahip oldukları zaman birbirlerine eşittir. Aynı şekilde iki küme $A$ ve $B$ kümeleri ancak $A$'nın her elemanı $B$'nin, $B$'nin her elemanı $A$'nın ise birbirlerine eşittir. Bu durum bir aksiyom veya betimleme olarak değerlendirilebilir. Eğer $A$ ve $B$ kümeleri birbirlerine eşitse bu durumu $A=B$ ifadesiyle belirtiriz. Eğer birbirlerine eşit değillerse $A\neq B$ ifadesini kullanırız.

Bu kitapta bir eşitlik çözdüğümüz zaman aksi belirtilmediği sürece o eşitliğin yalnızca gerçek çözümlerini kabul ediyoruz.

Örnek.

• $\{x:3x+2=0\}=\{-2/3\}$.
• $\{y:y{\text{ pozitif bir tekil sayıdır}}\}=\{1,3,5,\ldots \}$.
• $\{z:z{\text{ bir Latin harfidir}}\}=\{a,b,c,\ldots ,z,A,B,\ldots ,Z\}$.

Egzersiz.