Küme İşlemleri ve Kapanış

değiştir

Bu alt bölümde verilen lemmaların her birinde   bir topolojik uzayı,   ve  ,  'in iki alt kümesini göstermektedir. Büyük kesişim ve birleşimler  'ler üzerinden alınmaktadır.

Lemma :   ise   .

İspat : Her zaman   olduğunu biliyoruz.   olduğundan   'dir.  ,   'yı kapsayan bütün kapalı kümelerin kesişimi,   da   'yı içeren kapalı kümelerden biri olduğundan   . ■

Lemma :   .

İspat :  ,   olduğundan   ve       .......(i)

Diğer taraftan  ,   olduğundan  . İki kapalı kümenin birleşimi kapalı olduğundan  ,   kümesini kapsayan bir kapalı kümedir ve dolayısıyla   .......(ii)

(i) ve (ii)'den     'in alt kümelerinin bir ailesi ise   .

İspat :   için   olduğundan   için        

Sonsuz birleşimde eşitlik sağlanmayabilir.

Örnek :  'de alt kümelerin   ailesini ele alalım.

 

 

Lemma :   .

İspat :  ,   olduğundan   ve      

Sonlu durumda birleşim için sağlanan eşitlik kesişim için sağlanmayabilir.

Örnek :  ,   alalım. Bu durumda;

  =  

  =  

Sonlu kesişimde görülen durumun aynısı sonsuz kesişim için de vardır. Sonsuz durumda, kesişim için sağlanan kapsamanın birleşim için sağlanan benzer kapsama ile ters yönlü olduğuna dikkat edilmelidir.

Lemma :     'in alt kümelerinin bir ailesi ise   .

İspat :   için   olduğundan   için        

Şimdi eşitliğin sağlanmadığı bir örnek inceleyelim.

Örnek :   üzerindeki alışılmış topolojide,