Topoloji/Süreklilik
Çözümlü Alıştırmalar değiştir
SORU : (a) Tanım kümesi üzerinde ayrık topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.
(b) Değer kümesi üzerinde indiskret topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.
Çözüm : (a) ve topolojik uzay, bir fonksiyon olsun. üzerindeki topolojinin ayrık topoloji olduğunu düşünelim.
, 'de bir açık küme olsun. Bu durumda 'tir. üzerinde ayrık topoloji bulunduğundan 'in her alt kümesi açıktır ve buradan kümesi de 'te açıktır ve böylece sürekli olur.
![{\displaystyle f^{-1}[G]\subset X\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e11e03fa0ca96d6082016554f9a8c9ba0bf22a)
![{\displaystyle f^{-1}[G]\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c61de234cf8fb9924c1788b10e25d77d208910)
(b) ve topolojik uzay, bir fonksiyon olsun ve üzerindeki topolojinin indiskret topoloji olduğunu düşünelim. Bu durumda 'deki açık kümeler yalnızca ve 'dir. Üstelik olduğundan,
![{\displaystyle f^{-1}[Y]=X\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/222c623c834fa5980d9f62501eed7a5aacee0d4c)
![{\displaystyle f^{-1}[\varnothing ]=\varnothing \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106fcb31f14d46e37f6c581beb0c4f7e8135ffff)
olur. üzerindeki topoloji ne olursa olsun ve açık kümeler olacaklarından 'den alınan her bir açığın ters görüntüsü 'te açıktır ve böylece sürekli bir fonksiyondur.
