Topoloji/Süreklilik

Çözümlü Alıştırmalar

SORU : (a) Tanım kümesi üzerinde ayrık topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.

(b) Değer kümesi üzerinde indiskret topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.

Çözüm : (a) $X\$ ve $Y\$ topolojik uzay, $f:X\rightarrow Y\$ bir fonksiyon olsun. $X\$ üzerindeki topolojinin ayrık topoloji olduğunu düşünelim.

$G\subset Y\$, $Y\$'de bir açık küme olsun. Bu durumda $f^{-1}[G]\subset X\$ 'tir. $X\$ üzerinde ayrık topoloji bulunduğundan $X\$'in her alt kümesi açıktır ve buradan $f^{-1}[G]\$ kümesi de $X\$'te açıktır ve böylece $f\$ sürekli olur.

(b) $X\$ ve $Y\$ topolojik uzay, $f:X\rightarrow Y\$ bir fonksiyon olsun ve $Y\$ üzerindeki topolojinin indiskret topoloji olduğunu düşünelim. Bu durumda $Y\$'deki açık kümeler yalnızca $Y\$ ve $\varnothing \$'dir. Üstelik $f:X\rightarrow Y\$ olduğundan,

$f^{-1}[Y]=X\$

$f^{-1}[\varnothing ]=\varnothing \$

olur. $X\$ üzerindeki topoloji ne olursa olsun $X\$ ve $\varnothing \$ açık kümeler olacaklarından $Y\$'den alınan her bir açığın ters görüntüsü $X\$'te açıktır ve böylece $f\$ sürekli bir fonksiyondur.

$\$