Topoloji/Süreklilik

Çözümlü Alıştırmalar

değiştir

SORU : (a) Tanım kümesi üzerinde ayrık topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.

(b) Değer kümesi üzerinde indiskret topoloji bulunan her fonksiyon süreklidir, gösteriniz.

Çözüm : (a)   ve   topolojik uzay,   bir fonksiyon olsun.   üzerindeki topolojinin ayrık topoloji olduğunu düşünelim.

 ,  'de bir açık küme olsun. Bu durumda   'tir.   üzerinde ayrık topoloji bulunduğundan  'in her alt kümesi açıktır ve buradan   kümesi de  'te açıktır ve böylece   sürekli olur.

(b)   ve   topolojik uzay,   bir fonksiyon olsun ve   üzerindeki topolojinin indiskret topoloji olduğunu düşünelim. Bu durumda  'deki açık kümeler yalnızca   ve  'dir. Üstelik   olduğundan,

 
 

olur.   üzerindeki topoloji ne olursa olsun   ve   açık kümeler olacaklarından  'den alınan her bir açığın ters görüntüsü  'te açıktır ve böylece   sürekli bir fonksiyondur.